Teorema de Shannon-Nyquist


aaaaaEl teorema de muestreo de Shannon-Nyquist es un resultado fundamental en el ámbito de la teoría de la información, en particular, en las telecomunicaciones y en el procesamiento de señales. Un ejemplo de muestreo, es el proceso de convertir una señal (por ejemplo, una función en tiempo continuo) en una secuencia numérica (una función de tiempo discreto).

aaaaa Según este teorema, para poder replicar con exactitud la forma de una onda es necesario que la frecuencia de muestreo sea superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear.

aaaaa Como condiciones para la reconstrucción, se impone que la señal ha de ser periódica, debe estar limitada en banda y las muestras no han de ser cuantificadas, coincidiendo sus valores de forma exacta con las de la señal original. En esta situación, el proceso de muestreo es matemáticamente reversible.

aaaaa Para formalizar estos conceptos, vamos a representar X(t) como la señal en tiempo continuo y X(f) será la transformada de Fourier de la señal (en función de la frecuencia):

formula_1_Nyq.PNG La señal X(t) esta limitada a un ancho de banda (B=fmax-fmin), si:
X(f)=0, para todo |f|>B
Entonces la condicion suficiente para la reconstruccion exacta es que la frecuencia de muestreo (fs) sea:
fs>2B
A 2B se le llama "tasa de Nyquist" y es una caracteristica de la señal limitada en banda, mientras que fs/2 es la frecuencia de Nyquist y es una caracteristica de este sistema de muestreo.
El intervalo de tiempo entre muestras sucesivas se conoce como el intervalo de muestreo (T):
T=1/fs
aaaaaPara demostrar este teorema debemos aplicar conceptos básicos de series de Fourier y trigonometría.

Conceptos básicos de series de fourier:

efectoUna función X(t) periódica, con período T, puede ser representada como un sumatorio de funciones sinusoidales del tipo:

efectoX(t)=c0+c1*cos(2pt*f+f1)+ c2*cos(2pt* 2f +f2)+ c3*cos(2pt* 3f+f3)+...+ cn*cos(2pt* nf+fn) = Sck * cos(2pt* Kf+fk) siendo (k=0...n) es decir una serie de componentes cosenoidales de amplitud ck, fase fk y frecuencia fk= f*k, múltiplo de la frecuencia de muestreo fs (la de la función representada). Es la conocida serie de Fourier.

efectoPodemos hablar así de una función X(f), con dominio 0, f, 2f, 3f...nf e imagen c0, c1, c2, c3... cn.

aaaaaLa representación de las amplitudes ck sobre un diagrama amplitud vs frecuencia, es lo que denominamos diagrama espectral o espectro de frecuencia de la señal.

aaaaaPor ejemplo una señal cosenoidal de amplitud 1 y 5kHz, y una señal cosenoidal de amplitud 1 y 50kHz:

efectoefectoefectoefecSeñal analógica efectoefectoefectoefectoefectoefectoDiagrama espectral

Graficas_1_Nyq.PNG


aaaaaLa señal analógica en caso de ser periódica tendrá un espectro que será una suma de componentes sinusoidales de frecuencias espaciadas a intervalos f=1/T o una integral de componentes sinusoidales de frecuencias infinitamente próximas entre sí. Con otras palabras, la señal analógica se puede representar como la suma se una serie de señales sinusoidales con distintas frecuencias y amplitudes.

aaaaaPor ejemplo, la suma de las señales del caso anterior nos daría como resultado:

Graficas_2_Nyq.PNG

aaaaaEn función del tipo de señal el diagrama espectral variara. En él se podrá observar de una forma muy clara si el muestreo sufre “aliasing” debido a un no cumplimiento del teorema de Nyquist, pues en el caso de darse, las frecuencias representadas se superpondrán unas con otras.

aaaaa En las siguientes gráficas se muestran una señal muestreada a una frecuencia fs>fmax, y una señal muestreada a fs<fmax (resultando el efecto de “aliasing”) .

Graficas_3_Nyq.PNG
aaaaa1Hay que aclarar, que el concepto de ancho de banda no es necesariamente sinónimo del valor de la frecuencia más alta en la señal. A las señales para las cuales esto sí es cierto se les llama señales de banda base, y no todas las señales comparten dicha característica (por ejemplo, las ondas de radio en frecuencia modulada).